로또 5게임 포트폴리오 중복과 커버리지 실험

왜 게임 수와 비용부터 고정해야 하는가

5게임은 6개 번호를 다섯 줄에 배치하므로 총 30칸을 사용합니다. 10게임은 60칸을 사용하므로 고유 번호와 당첨 기회가 단순히 더 많아질 수 있습니다. 두 묶음을 그대로 비교하면 번호 선택법의 효과와 구매량의 효과를 분리할 수 없습니다.

모든 비교안은 5게임으로 고정합니다. 각 줄은 1~45 안의 서로 다른 번호 6개이고, 보너스 번호는 구성에 사용하지 않습니다. 비교 지표는 고유 번호, 게임 사이 교집합, 고유 번호쌍과 삼중 조합입니다.

한 게임 안에는 번호쌍 15개와 삼중 조합 20개가 있다

번호 6개에서 두 개를 고르는 경우는 6C2=15개이고 세 개를 고르는 경우는 6C3=20개입니다. 따라서 5게임은 번호쌍 슬롯 75개와 삼중 조합 슬롯 100개를 만듭니다. 서로 다른 슬롯 수를 세면 같은 번호 관계가 여러 줄에서 반복됐는지 확인할 수 있습니다.

예를 들어 두 줄이 번호 2개를 공유하면 그 공통 번호쌍 하나도 공유합니다. 번호 3개를 공유하면 공통 번호쌍은 3C2=3개, 공통 삼중 조합은 1개입니다. 줄 사이 번호 교집합이 커질수록 번호쌍과 삼중 조합 중복은 더 빠르게 증가합니다.

무작위 5게임의 고유 번호 기대값

각 줄을 45C6개 조합에서 독립적으로 균등 선택한다고 가정합니다. 고정한 번호 하나가 한 줄에 포함되지 않을 확률은 39/45=13/15입니다. 그 번호가 다섯 줄 모두에 없을 확률은 (13/15)⁵이고, 적어도 한 번 사용될 확률은 1-(13/15)⁵입니다.

같은 계산을 45개 번호에 적용하면 고유 번호 수의 기대값은 45 × [1-(13/15)⁵] = 약 22.9974519개입니다. 간단히 말해 독립 무작위 5게임은 평균적으로 약 23개의 서로 다른 번호를 사용합니다. 이는 장기 평균이며 개별 포트폴리오가 반드시 23개를 가져야 한다는 기준은 아닙니다.

이 식은 줄끼리 완전히 동일한 조합이 우연히 나오는 경우도 허용하는 독립 선택 모델입니다. 생성기에서 같은 줄을 강제로 금지하면 분포가 아주 조금 달라지므로 구현 조건을 명시해야 합니다.

두 게임이 공유하는 번호 수의 정확한 분포

첫 번째 게임을 고정한 뒤 두 번째 게임이 정확히 r개를 공유하려면, 첫 줄의 6개 중 r개와 나머지 39개 중 6-r개를 고릅니다. 확률은 6Cr × 39C(6-r) ÷ 45C6입니다. 이는 한 고정 조합이 당첨번호 6개와 r개 일치할 확률과 같은 형태입니다.

공유 번호 수의 기대값은 첫 줄 번호 6개 각각이 두 번째 줄에 포함될 확률 6/45를 더한 6×6/45=0.8개입니다. 3개 이상 공유할 확률은 약 2.3834%, 4개 이상 공유할 확률은 약 0.1393%입니다. 작아 보이는 확률도 여러 줄과 여러 회차를 계속 보면 관측될 수 있으므로 한 사례만으로 생성기 오류를 단정하지 않습니다.

5게임에는 줄 사이 비교가 10개 있다

다섯 줄에서 두 줄을 고르는 경우는 5C2=10개입니다. 각 줄쌍의 기대 교집합이 0.8개이므로 10개 줄쌍의 공유 번호 수 합계 기대값은 8입니다. 평균 게임 간 중복은 합계를 10으로 나눈 0.8입니다.

한 번호가 세 줄에 반복되면 줄쌍 세 개에 각각 한 번씩 잡혀 총 3의 중복을 만듭니다. 네 줄에 반복되면 4C2=6을 만듭니다. 따라서 줄쌍 교집합 합계는 단순한 “30칸-고유 번호 수”와 같지 않습니다. 한 번호의 반복 집중도를 더 강하게 반영합니다.

무작위 기준의 고유 번호쌍과 삼중 조합

가능한 번호쌍은 45C2=990개입니다. 고정한 번호쌍 하나가 한 게임에 포함될 확률은 6C2/45C2=15/990=1/66입니다. 다섯 줄 가운데 한 번 이상 나타날 확률은 1-(65/66)⁵이고, 990을 곱하면 고유 번호쌍 기대값은 약 72.7614479개입니다.

가능한 삼중 조합은 45C3=14,190개입니다. 고정한 삼중 조합이 한 줄에 포함될 확률은 6C3/45C3=20/14,190입니다. 같은 방식으로 계산한 5게임의 고유 삼중 조합 기대값은 약 99.7185084개입니다. 무작위 5게임에서는 삼중 조합의 완전한 반복이 번호쌍 반복보다 드문 편입니다.

세 비율을 단순 평균해 하나의 점수로 만들면 각 단위의 가능한 총수와 중복 민감도가 다르다는 사실이 가려집니다. 번호, 번호쌍과 삼중 조합을 별도 열로 보여주고 필요한 경우 목적에 맞는 가중치와 이유를 공개하는 편이 낫습니다.

실험 A: 완전히 같은 줄을 5번 반복

다섯 줄을 모두 1, 8, 15, 22, 29, 36으로 구성했다고 가정합니다. 번호 슬롯은 30개지만 고유 번호는 6개입니다. 각 줄에 있는 15개 번호쌍과 20개 삼중 조합도 그대로 반복되므로 고유 번호쌍은 15개, 고유 삼중 조합은 20개입니다.

10개 줄쌍이 모두 번호 6개를 공유하므로 평균 중복과 최대 중복은 모두 6입니다. 이 구성은 적중했을 때 같은 결과를 여러 장 보유하려는 의도에는 맞을 수 있지만, 서로 다른 당첨 조합을 커버하는 수는 한 개뿐입니다. 5장을 샀다고 1등 발생 확률이 다섯 배가 되지 않습니다.

실험 B: 30개 번호를 한 번씩만 사용

다음 다섯 줄을 생각해 봅시다. ① 1, 8, 15, 22, 29, 36 ② 2, 9, 16, 23, 30, 37 ③ 3, 10, 17, 24, 31, 38 ④ 4, 11, 18, 25, 32, 39 ⑤ 5, 12, 19, 26, 33, 40입니다. 30칸이 모두 다른 번호이므로 고유 번호는 최대값 30개입니다.

두 줄이 번호를 공유하지 않아 평균·최대 중복은 0이고, 번호쌍 75개와 삼중 조합 100개도 모두 고유합니다. 다만 각 줄은 간격 7의 등차 구조입니다. 묶음 커버리지와 한 줄의 구조 지표는 별개입니다.

실험 C: 일부 기준 번호를 반복한 26개 커버리지

다음 구성은 실험 A와 B 사이에 있습니다. ① 1, 8, 15, 22, 29, 36 ② 1, 9, 16, 23, 30, 37 ③ 2, 8, 17, 24, 31, 38 ④ 3, 10, 15, 25, 32, 39 ⑤ 4, 11, 18, 22, 33, 40입니다. 1, 8, 15, 22가 각각 두 번 나오고 나머지는 한 번이므로 고유 번호는 26개입니다.

첫 번째 줄은 나머지 네 줄과 각각 번호 하나를 공유하고, 나머지 줄끼리는 공유 번호가 없습니다. 10개 줄쌍의 중복 합계는 4, 평균은 0.4, 최대는 1입니다. 두 번호를 함께 공유하는 줄쌍이 없으므로 번호쌍 75개와 삼중 조합 100개는 여전히 모두 고유합니다.

이 사례는 일부 번호를 반복하면서도 번호쌍은 반복하지 않는 구조를 보여줍니다. 반복 선택은 미래 확률을 높이지 않지만 공통 기준을 투명하게 설명할 수 있습니다.

세 실험을 같은 표에서 비교하기

최대 중복의 기대값은 단순히 두 줄의 기대 중복 0.8로 대체할 수 없습니다. 열 개 줄쌍 중 가장 큰 값을 고르는 통계라 분포가 달라지기 때문입니다. 이 표에서는 근거 없는 근삿값을 넣지 않고 “별도 분포”로 표시했습니다.

커버리지가 넓으면 당첨 확률이 높아지는가

서로 다른 5개 조합을 보유했다면 1등이 되는 결과는 45C6개 중 5개입니다. 번호 커버리지가 20개든 30개든 다섯 줄이 서로 다르다는 조건이 같으면 1등 확률은 5/8,145,060으로 같습니다. 고유 번호 수는 어떤 다섯 조합을 샀는지 설명하지만 서로 다른 조합 개수보다 추가로 1등 확률을 올리지 않습니다.

커버리지는 낮은 등위 결과가 여러 줄에서 함께 움직이는 정도와 선택의 반복을 이해하는 데 유용합니다. 다만 기대 당첨금이나 위험 분포를 계산하려면 회차별 당첨금, 보너스 번호와 각 줄의 공동 적중 사건까지 모델링해야 합니다. 고유 번호 하나만으로 수익률을 추정해서는 안 됩니다.

포트폴리오 점수를 확률로 읽으면 안 되는 이유

포트폴리오 점수는 고유 번호·번호쌍·삼중 조합과 게임 간 중복을 요약하는 정렬 도구입니다. 90점 묶음이 70점 묶음보다 1등 확률이 높다는 뜻은 아닙니다.

점수를 공개하려면 정의와 가중치를 함께 보여야 합니다. 개선 전후 게임 수를 고정하고, 바꾼 번호를 줄별로 공개해야 선택 보존과 커버리지의 거래를 판단할 수 있습니다.

동일 비용 실험을 재현하는 절차

1. 대상 회차와 5게임 비용을 결과 확인 전에 고정합니다.
2. 각 줄을 정렬하고 번호 범위·중복을 검사합니다.
3. 30칸의 고유 번호와 번호별 반복 횟수를 셉니다.
4. 10개 줄쌍의 교집합을 모두 계산해 평균과 최대를 기록합니다.
5. 각 줄의 15개 번호쌍과 20개 삼중 조합을 합쳐 고유 개수를 셉니다.
6. 무작위 기준과 비교하되 차이를 미래 우위로 표현하지 않습니다.
7. 실제 구매 줄과 단순 연구 후보를 분리해 보관합니다.

포트폴리오 랩에서는 여러 조합을 입력해 같은 종류의 중복 지표를 확인할 수 있습니다. 계산 정의는 포트폴리오 분산 가이드에서 다시 확인하고, 실제 구매 기록은 예산과 함께 별도로 관리하세요.